[2016년 운정고]

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[1학년 2학기 중간]

세 조건 [eqn: p:x le -3```또는```x>4], [eqn: q:x lea], [eqn: r:b-1<x LEQ 2b]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건이고, [eqn: p]는 [eqn: simr]이기 위한 충분조건이다. 실수 [eqn: a]의 최댓값을 [eqn: M], 실수 [eqn: b]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때,
[eqn: 3M+2m]의 값은? [3.7점]

⑤

① [eqn: -21]	② [eqn: -19]	③ [eqn: -17]
④ [eqn: -15]	⑤ [eqn: -13]

다음 조건을 만족시키는 공집합이 아닌 정수 전체의 집합의 부분집합 [eqn: X]의 개수는? (단, [eqn: x inX]이다.) [3.7점]

①

(가) 명제 ‘모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} -x-6le0]이다.’가

참이다.

(나) 명제 ‘어떤 [eqn: x]에 대하여 [eqn: |x+2|=1]이다.’가

참이다.

① [eqn: 32]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 48]
④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 64]

자연수 [eqn: k]에 대하여 다항식 [eqn: f_k (x)=(x-k)(x-k-1)]라 하고 집합 [eqn: A_k =left{`x`|`f_k (x)+f_k+1 (x)=0,```x는```정수 right}]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.1점]

④

ㄱ. 집합 [eqn: A_2]의 원소의 개수는 [eqn: 2]개다.

ㄴ. 임의의 서로 다른 두 자연수 [eqn: i], [eqn: j]에 대하여

[eqn: n(A_i )-n(A_j )=0]

ㄷ. 집합 [eqn: A_4 cupA_5 cupA_6]의 모든 원소의 합은 [eqn: 18]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: x>0], [eqn: y>0]이고 [eqn: x+2y=4]일 때, [eqn: { 1} over {x }+ { 2} over { y}]는 [eqn: x=a]일 때, 최솟값 [eqn: b]를 갖는다. [eqn: ab]의 값은? [3.7점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라 하자. 명제 [eqn: q`-> `simr]가 참이 되도록 하는 세 집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R] 사이의 관계인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, 세 집합 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]는 모두 공집합이 아니다.) [4.1점]

③

ㄱ. [eqn: Q capR=emptyset]

ㄴ. [eqn: (P capQ^c )subsetR^c]

ㄷ. [eqn: (P-R^c )cup(Q-P)=emptyset]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.1점]

②

ㄱ. [eqn: a^2 + { 1} over { 2}b^2 ge { 1} over {2 }ab]

ㄴ. [eqn: (ab-1)^2 ge (a^2 -1)(b^2 -1)]

ㄷ. [eqn: sqrt {|`a`|} + sqrt {|`b`|} GEQ sqrt {2(|`a`|+|`b`|)}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

집합 [eqn: X=left{1,```2,```3right}]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f] 중 공역과 치역이 다르도록 하는 함수 [eqn: f]의 개수는? [3.9점]

①

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]
④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

세 집합 [eqn: X=left{1,```2right], [eqn: Y=left{a,```b,```c right], [eqn: Z=left{3,```4right]에 대하여 함수
[eqn: f:X->Y], [eqn: g:Y->Z]이라 하자. [eqn: X]에서 [eqn: Z]로의 함수 [eqn: g circf]가 일대일 대응이 되도록 하는 함수 [eqn: f], [eqn: g]의 순서쌍 [eqn: (f,```g)]의 개수는? [4.1점]

③

① [eqn: 12]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

다음 중 옳은 것은? [3.9점]

②

① 합성함수 [eqn: g circf]가 일대일 대응이면 두 함수 [eqn: f], [eqn: g] 중

적어도 하나는 일대일 대응이다.

② 함수 [eqn: f]의 그래프를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한

도형은 [eqn: f]의 역함수의 그래프이다.

③ [eqn: x_1 =x_2]이면 [eqn: f(x_1 )=f(x_2 )]를 만족하는 함수 [eqn: f]는

일대일함수이다. (단, [eqn: x_1], [eqn: x_2 inX])
④ [eqn: f(x_1 )=f(x_2 )]이면 [eqn: x_1 =x_2]를 만족하는 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의

함수 [eqn: f]는 일대일 대응이다. (단, [eqn: x_1], [eqn: x_2 inX])

⑤ 역함수가 존재하는 두 함수 [eqn: f], [eqn: g]에 대하여

[eqn: (f circg)^-1 =f^-1 circ g^-1]이다.

[eqn: 2 le x le 4]에서 [eqn: ax+1 le { x} over { x-1} le bx+1]이 항상 성립할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 최댓값은? [3.7점]

②

① [eqn: -{ 1} over {4 }]	② [eqn: -{ 5} over {12 }]	③ [eqn: - {7} over {12}]
④ [eqn: -{ 3} over {4 }]	⑤ [eqn: - {11} over {12}]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 두 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]의 중점을 각각 [eqn: rmM], [eqn: rmN]이라 하고, 두 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC] 위를 움직이는 점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE]라 하자. 선분 [eqn: rmBE]와 선분 [eqn: rmCD]의 교점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmMN] 위에 있을 때, [eqn: {rmbarBD}=x]라 하자. [eqn: {5} over {2} LEQ x le { 10} over {3 }]일 때, [eqn: rmbarPN]의 값의 범위는 [eqn: alpha le rm {barPN} le beta]이다. [eqn: beta-alpha]의 값은? [3.9점]

④

① [eqn: 1over5]	② [eqn: 2over5]	③ [eqn: 3over5]
④ [eqn: 4over5]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: -2 le x le 2], [eqn: 0 le y le 2]의 범위에서 함수
[eqn: f(x)= cases{ { 1} over {2 }x^2 &```(x ge 0) # sqrt { -2x} &(x<0) }]
의 그래프에 대하여 [eqn: y ge f(x)]를 만족시키는 점 [eqn: (x,```y)]가 나타내는 영역의 넓이는? [3.9점]

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

전체집합 [eqn: U=left{`x`|`1 le x le 10,```x는```자연수 right]의 두 부분집합
[eqn: A=left{`x`left|`x=left[ { n} over { 4}right],```n과```x는```10```이하의 ```자연수 right}]
[eqn: B= LEFT { `x` LEFT | `x= {12} over {n} ,```n과```x는```10```이하의```자연수 RIGHT } RIGHT .]
에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: U]의 부분집합 [eqn: X]의 개수는? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대정수이다.) [4.4점]

③

(가) [eqn: A cupX=X]

(나) [eqn: (B-A) capX=left{4,```6 right}]

① [eqn: 8]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 72]

두 집합 [eqn: X= left{`x`|`k+5 le x le k+7 right], [eqn: Y=left{`y`|`k-6 le y le k+2 right]에 대하여 [eqn: f:X->Y], [eqn: f(x)=x^2 -4x-5]이다. 함수 [eqn: f]가 일대일대응이 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

함수 [eqn: f(x)= { -3x+2} over {x-1 }]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 함수를 [eqn: g(x)]라고 한다.
[eqn: (f circg)(x)=(g circf)(x)=x]이고, 방정식 [eqn: left{g(x) right}^2 +ag(x)+b=0]의 실근을 [eqn: k]라 할 때, [eqn: abk]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: 24]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 48]
④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 64]

서술형

[eqn: 1]학년 학생 [eqn: 90]명은 물리, 화학, 지구과학 중 한 가지 이상의 교과를 선택해야 하고 [eqn: 3]개까지 선택할 수 있다고 한다. 물리를 선택한 학생은 [eqn: 45]명, 화학을 선택한 학생은 [eqn: 37]명, 지구과학을 선택한 학생은 [eqn: 30]명, 화학과 지구과학을 모두 선택한 학생은 [eqn: 5]명이었다. 학교에서는 물리와 화학을 동시에 선택하거나 물리와 지구과학을 동시에 택한 학생들을 모아서 오리엔테이션을 실시하려고 한다. 오리엔테이션에 참가해야 하는 학생의 수를 구하고 풀이과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 17]

좌표평면 위의 점 [eqn: (3,```1)]을 지나고 기울기가 [eqn: m]인 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: m<0]이다.) [10.0점]

(1) [eqn: rmA][eqn: left(0,``` { -3m +1 right)], [eqn: rmB][eqn: left( { 3m-1} over { m},```0 right)]

(2) [eqn: 6], [eqn: m=- { 1} over {3 }]

(1) 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표를 각각 [eqn: m]에 관한 식으로 나타내고

그 과정을 서술하시오. [4.0점]

(2) 세 점 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의

넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: S]의 최솟값과 그 때의 [eqn: m]의 값을

구하고 그 과정을 서술하시오. [6.0점]

집합 [eqn: X=left{`x`|`0 le x le 4 right]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수
[eqn: y=f(x)]의 그래프가 아래 그림과 같을 때, [eqn: (f circf)(x)=f(x)]를 만족시키는 서로 다른 실수 [eqn: x]를 모두 구하고 풀이과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 0], [eqn: { 12} over {7 }], [eqn: 24over7], [eqn: 4]

수직선 위의 세 점 [eqn: rmA(-2)], [eqn: rmB(6)], [eqn: {rmC}(t)]에 대하여
[eqn: {rmbarAC :barBC}=s:s+2]([eqn: s>0])
을 만족시킬 때, [eqn: s=f(t)]라 한다. 다음 물음에 답하시오. (단, 점 [eqn: rmC]는 점 [eqn: rmA]보다 오른쪽에 있다.) [10.0점]

(1) [eqn: s= {-4} over {t-2} -1] (정의역 [eqn: -2 < t <2])

(절편 : [eqn: (0,```1)], 점근선 [eqn: x=2])

(2) [eqn: k >-2]

(1) 함수 [eqn: s=f(t)]의 그래프를 그리고, 정의역을 구하며

그 과정을 서술하시오. (단, 절편과 점근선이 존재한다면

표시하시오.) [7.0점]

(2) [eqn: t]에 대한 함수 [eqn: s=f(t)]와 [eqn: s= sqrt { -t+k}]의 그래프가

한 점에서 만날 때, 실수 [eqn: k]값의 범위를 구하고 그 과정을

서술하시오. [3.0점]

[2016년 운정고]

[1학년 2학기 중간]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com